@Felicity vertraue auf Dein Gefühl. Wenn Dir ein Lehrer auf die Dauer (oder schon in der ersten Probestunde) komisch vorkommt, dann würde ich da nicht mehr hingehen.
Für mich sind wichtige Kriterien, ob Dich ein Lehrer dazu inspiriert, das Instrument zu spielen und zu üben, und ob Du nach einer Stunde den Eindruck hast, etwas Neues erfahren zu haben, was Dich spürbar weiterbringt. Letzteres kannst Du nach der Stunde direkt in ein kleines Heft schreiben und versuchen, diese Punkte beim nachfolgenden Üben anzuwenden. Letztlich ist für mich die entscheidende Frage: „Macht Dir der Lehrer Lust auf das Instrument?“ (oder eher nicht?)
Wichtig finde ich auch die räumliche Erreichbarkeit, damit Deine Klavierstunden leicht in Deinen Alltag integrierbar sind. Wenn Du am Rande einer Großstadt wohnst, sollte das kein Problem darstellen.
Es ist sicher eine gute Idee, sich die Lehrer in Deiner nächstgelegenen (staatlichen) Musikschule einmal genauer anzusehen, evtl. auch zu Vorspielen hinzugehen, sich persönlich bei Eltern von Schülern oder erwachsenen Schülern umzuhören (das geht gut vor oder nach den Vorspielen) und Probestunden zu vereinbaren. Dann merkst Du, ob die Chemie stimmt. Das Gute an der Musikschule ist, dass die dortigen Lehrkräfte alle eine fundierte Ausbildung mitbringen (also keine Hobbyisten sind) und den Umgang mit Schülern mehr als gewohnt sind

. Außerdem schließt man einen festen (Jahres-)Vertrag ab, so dass das ganze „Finanzielle“ bzw. der ganze Papierkram an die Musikschule ausgelagert ist und man sich anschließend voll auf die Musik konzentrieren kann.
Gut ist außerdem, dass man dann einen festen Unterrichtsturnus hat. Mir hilft das, am Ball zu bleiben, auch in Phasen, in denen das Üben wochenlang brachliegt oder die Motivation mal wieder tief im Keller gelandet ist. Gelegentliche Privatstunden funktionieren da evtl. nicht so gut, weil das dann darauf hinausläuft, dass man am Ende gar keine Stunden mehr vereinbart

(ich spreche da aus Erfahrung…) und folglich auch nichts Neues mehr lernt.
Der Vorteil an einer (größeren staatlichen) Musikschule ist auch, dass es Kollegen gibt, zu denen Du ggf. wechseln könntest oder mit denen sich dann Deine Lehrerin oder Dein Lehrer austauschen kann. Und Du findest schnell andere Schüler, mit denen Du z. B. zusammen vierhändig spielen kannst. Du bist dort einfach in eine größere Musikergemeinschaft eingebunden. Man wird quasi wieder zum Schulkind und das kann ganz nett sein und verjüngend und sehr motivierend wirken

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Natürlich kann das alles auch bei einem gut gestalteten Privatunterricht funktionieren. Aber da ist der „Markt“, gerade für Anfänger, ziemlich unübersichtlich. Evtl. gibt es freiberufliche „Stars“, die richtig, richtig toll unterrichten und spielen können, aber auf die Dauer finanziell für Dich unerschwinglich sind oder so viele Konzerte geben, dass sie nur sehr unregelmäßig unterrichten können, was Dir dann auch nicht weiterhilft.
Falls Du Kontakte in Deiner Kirchengemeinde hast, könnest Du den dortigen Kirchenmusiker/Organisten fragen, ob er eine Empfehlung für einen Klavierlehrer hat. Kirchenmusiker sind oft sehr gut vernetzt.
Und vielleicht noch etwas: Es ist auch gut, einem Lehrer eine längere Chance zu geben, zu wirken. Es liegt nicht immer alles am Lehrer, und Tagesformschwankungen lehrerseits sind auch normal. Die meiste Arbeit macht man als Schüler durch das regelmäßige (nicht notwendigerweise tägliche) Üben und durch das genaue Hinhören und Hinschauen während des Unterrichts. Auch ein auf den ersten Blick „unsympathischer“ Lehrer kann sich möglicherweise im Laufe der Zeit zu einem Top-Lehrer entwickeln, wenn man einfach stur dranbleibt
Ansonsten haben andere hier schon alles Wichtige gesagt

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