Unabhängigkeit der Hände gibt es nicht, da ist immer nur ein Gehirn dazwischen. Das bedeutet, daß die Hände immer zusammenspielen, ganz egal, wie unterschiedlich es sein mag - und das, was jede Hand spielt, bezieht sich auf jeden Fall auf das, was die andere Hand spielt (und vermutlich können die meisten Menschen auch nur so zwei unterschiedliche Stücke gleichzeitig spielen - wenn überhaupt).
Aber ich weiß, worauf du hinauswillst, und dazu solltest du mit einfachen Begleitmustern anfangen. die du ganz banal wiederholst. Wenn du damit einigermaßen zurechtkommst, kannst du dir ein paar Variationen ausdenken, die du gelegentlich spielst - grundsätzlich bleibst du bei dem ersten Muster. Und so baust du langsam auf. Der Kopf braucht Zeit, sich daran zu gewöhnen, mehrere Dinge auf einmal zu machen.
Beim Improvisieren am Klavier (und nicht nur da) muß längst nicht jeder Ton spontan sein. Man kann sich diverse Schemata erarbeiten, in denen zum Beispiel der Harmonieverlauf festgelegt ist und wenn man sicher genug ist, kann man auch während der Improvisation von einem zum nächsten Schema wechseln und beide variieren.
Rachmaninoff soll vor Konzerten sogar kleine Muster ausprobiert haben, aus denen er sich dann während des Improvisationsteils bediente. Und für E-Gitarre kann man massenweise Bücher und Hefte mit Licks, Riffs und Patterns kaufen, die genau dem selben Zweck dienen (und manche freuen sich sogar, wenn sie genauso klingen wie die anderen :D ).
