Fragen zu Tonhöhen und Schwingungsfrequenzen? Hier bist Du richtig!


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Roman aus Wien
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Weil immer wieder Fragen nach den Schwingungsfrequenzen der Töne kommen, habe ich hier die grundlegenden Zusammenhänge zwischen den Noten (Tonhöhen) und ihren Schwingungsfrequenzen (bei der gleichstufigen bzw. gleichschwebenden Stimmung) zusammengestellt.

Im Allgemeinen nehmen wir Menschen Reizänderungen relativ und nicht absolut wahr (Weber-Fechnersches Gesetz). Es besteht also zwischen der Reizstärke (Tonhöhe, Lautstärke, Lichtstärke, Druck, usw.) und der Empfindungsstärke ein logarithmischer Zusammenhang. Wir hören, sehen und fühlen also zumeist logarithmisch. Das hat den großen Vorteil, dass wir wesentlich größere Spannweiten von Reizstärken wahrnehmen können als dies bei einem linearen Reizstärke-Empfindungsstärke-Verhältnis der Fall wäre.

Tonabstände werden dann als gleich groß empfunden, wenn sie das selbe Frequenz-Verhältnis bzw. die selbe relative Frequenzänderung haben. Die Oktave ist vom ersten Oberton abgeleitet. Jeder Oktavabstand bedeutet eine Verdoppelung der Tonfrequenz. Die Frequenzen aller von einem Ton ausgehenden Oktaven bilden somit eine geometrische Folge mit dem Faktor 2 [1, 2, 4, 8, 16, …]. Jede Oktave ist in 12 Halbtonschritte unterteilt. Die Frequenzen der Halbtöne bilden ebenfalls eine geometrische Folge. Die Tonfrequenz erhöht sich bei jedem Halbtonschritt mit dem selben Faktor, der sich einfach ermitteln lässt:

Bei 12 Halbtonschritten innerhalb einer Oktave wird dieser Faktor zwölfmal mit sich selbst multipliziert. Die zwölfte Potenz des Faktors muss also 2 ergeben. Das Frequenzverhältnis zwischen den Halbtönen ist somit die zwölfte Wurzel aus zwei (12√2 = 1,0595). Mit anderen Worten: Die Tonfrequenz steigt bei jedem Halbtonschritt um 5,95 %.

Ausgehend von einem Ton mit bekannter Tonfrequenz können die Frequenzen aller anderen Töne leicht berechnet werden:

f2 = f1•2^(n/12)

f2 ....... gesuchte Tonfrequenz
f1 ....... bekannte Tonfrequenz
n ....... Halbtonschritte zwischen Ton1 und Ton2
wenn Ton2 höher als Ton1: n > 0 (1, 2, 3, 4, 5, ….)
wenn Ton2 tiefer als Ton1: n < 0 (-1, -2, -3, -4, …)

Da heutzutage mit Taschenrechnern und Tabellenkalkulationsprogrammen Potenzen einfach berechnet werden können, verzichte ich hier darauf, die obige Formel zu logarithmieren - wie das früher notwendig war, um die Potenz in ein Produkt umzuwandeln. Wer noch das Glück hatte, in der Schule mit dem Rechenschieber zu rechnen, schafft das Logarithmieren der Gleichung ohnehin selber.

Für diejenigen, die lieber in einer Tabelle nachschauen, als selber zu rechnen, habe ich solche Tabellen als Bilder beigefügt.

Wer es genauer wissen und noch mehr erfahren will, dem empfehle ich den Abschnitt „akkustische Grundlagen der Musik“ von Jörg Gedan (http://www.pian-e-forte.de/texte/index.htm)

Roman aus Wien
 

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Fips7
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Hallo Roman,

laut Christoph Reuter (http://www.chr-reuter.de/pitch1.php; den Link hat fisherman kürzlich zur Verfügung gestellt) beträgt die Frequenz beim fünfgestrichenen C 4189 Hz. In deiner Tabelle steht aber 4186 Hz. Was stimmt nun?

Grüße von
Fips
 
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Roman aus Wien
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Das Schöne an ...

... mathematischen Streitfragen ist, dass zumeist durch einfaches Rechnen eindeutig beantwortet werden kann, wer recht hat. ;-)

Grüße aus Wien
Roman
 
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J. Gedan
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Fips7, der Unterschied zwischen 4189 und 4186 ist sehr gering, wahrscheinlich basiert er auf Rundungsfehlern, und die unterschiedlichen Werte kommen durch unterschiedliche Rechenwege zustande. Aber nur selber rechnen macht klug. Vom a' bis zum b' sind es:
440 Hz mal 2 hoch 1/12,
vom a' zum h':
440 Hz mal 2 hoch 2/12,
vom a' zum c'':
440 Hz mal 2 hoch 3/12.
3/12 läßt sich kürzen zu 1/4. Deswegen errechnet sich die Frequenz des c'' als
440 Hz mal vierte Wurzel aus 2.
Das Ergebnis muß man bis zum c''''' 3mal verdoppeln. Nach meinem Taschenrechner sind 4186 Hz genauer als 4189 Hz, in der Praxis ist der genaue Wert aber von keinem großen Interesse, weil das Ohr als letzte Instanz aus verschiedenen Gründen einen viel höheren Wert ermitteln wird. Aber wenn du den theoretischen Wert sicher wissen willst: viel Spaß beim Rechnen!
______________________
Jörg Gedan
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Haydnspaß
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Soweit ich das jetzt überflogen habe, sind Romans Darlegungen der Frequenzberechnung absolut korrekt.

In der Praxis ist es sogar noch viel einfacher:

die Frequenzen der eingestrichenen Oktave sind
(auf zwei Kommastellen gerundet)

Code:
h      493.88 Hz
ais    466.16 Hz
a      440.00 Hz
gis    415.30 Hz
g      392.00 Hz
fis    369.99 Hz
f      349.23 Hz
e      329.63 Hz
dis    311.13 Hz
d      293.66 Hz
cis    277.18 Hz
c      261.63 Hz


Man braucht dann nur noch die entsprechende Frequenz mit 2 zu multiplizieren, und bekommt dann den eine Oktave höheren Ton. Nochmal x 2 für die nächste Oktave usw.

für das fünfgestrichene c ergibt sich dann 4186,08
das um einen Halbton darunterliegende h hat die Freqiuenz 3951,04
ist also um 235 Hz tiefer!

EDIT

In Wirklichkeit wird das c5 am Klavier/Flügel aber deutlich höher gestimmt sein, wegen der Spreizung.
 
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Fips7
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...in der Praxis ist der genaue Wert aber von keinem großen Interesse, weil das Ohr als letzte Instanz aus verschiedenen Gründen einen viel höheren Wert ermitteln wird.
Aha. Ist das der Grund, warum man eine Spreizung - wie Haydnspaß geschrieben hat - braucht? Unter Spreizung stelle ich mir vor, dass die hohen Töne des Klaviers auf eine höhere Frequenz als die rechnerisch eigentlich richtige gestimmt werden, weil das Ohr die rechnerisch richtige Frequenz als zu tief empfindet (bzw. das Gehirn, das an dem Ohr dranhängt ;)). Hab ich das richtig verstanden?

Grüße von
Fips
 
Jonny Greenwood
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Danke für die Information.
Spricht da ein Mathematiker oder Physiker?
 
Viola
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h 493.88 Hz
ais 466.16 Hz
a 440.00 Hz
gis 415.30 Hz
g 392.00 Hz
fis 369.99 Hz
f 349.23 Hz
e 329.63 Hz
dis 311.13 Hz
d 293.66 Hz
cis 277.18 Hz
c 261.63 Hz

Rein Interessehalber... sind das physikalisch-rechnerische Angaben oder bezieht sich das auf die reine bzw temperierte Stimmung? Und wenn temperiert, dann welche Art? Werkmeister oder sonst wer?

Wer hat eigentlich irgendwann mal die 440 Herz festgelegt? Warum wollen einige Instrumente immer höher hinaus? Warum ist es für einen Menschen mit absolutem Gehör (habe ich zum Glück nicht) so schwierig, auf einem in sich perfektem Klavier zu spielen, was aber einige Herzen tiefer bzw höher gestimmt ist? Wobei ich gestehen muss, dass es mir auf einem Digitalen Piano ebenfalls schwer fällt komplexere Stücke zu spielen, wenn man den Tune verändert, zB einen Ton tiefer. Ich bin dann geneigt, je nach Tageszeit im übrigen, leichte Stücke einfach wieder zurück zu transponieren, auch wenn das fatale Auswirkungen auf Fingersätze hat, aber dann nehme ich einfach andere. Manchmal merke ich das gar nicht. Das ist dann schon merkwürdig: ich lese ein Stück in F-Dur, was dank digitaler Transposition in Fis-Dur erklingt und meine Finger korrigieren auf E-Dur damit meine Ohren wieder F-Dur hören, so wie es in den Noten steht. Geht, aber nur begrenzt.

Also, die Vermutung: es gibt einen Grund dafür, dass die Töne "festgelegt" wurden wie oben beschrieben und nicht so:


a 440.00 Hz
statt
a 452.00 Hz

Doch worin liegt der Grund dafür? Warum werden die Instrumente so gebaut und nicht anders? Hat das etwas mit UNSEREN Schwingungen zu tun?

Ich habe mal 3 Seiten Papier für 10 Euros gekauft: einen Artikel vom Fraunhofer Institut, der sich mit den Maßen eines Ziegelsteines befasste im Rahmen der Architekturgeschichte. Ich finde den Artikel gerade nicht. Wie kommt es zu diesen merkwürdigen Maßen eines Ziegelsteines:
Es ist eine Zahl, die "oktaviert" (ich glaube nach unten oktaviert) zunächst das Lichtspektrum ROT trifft. Noch weiter nach unten oktaviert trifft man auf den Ton "G". Das bedeutet, dass sich die Architektur DIREKT auf musikalische Grundregeln beruft und man durchaus bei Gebäuden davon sprechen kann, dass sie steingewordene Musik sind, eine direkte Entsprechung rhythmischer Strukturen und kompositorischer Formen!

Fand ich irgendwie einleuchtend...
 
Haydnspaß
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h 493.88 Hz
ais 466.16 Hz
a 440.00 Hz
gis 415.30 Hz
g 392.00 Hz
fis 369.99 Hz
f 349.23 Hz
e 329.63 Hz
dis 311.13 Hz
d 293.66 Hz
cis 277.18 Hz
c 261.63 Hz

Rein Interessehalber... sind das physikalisch-rechnerische Angaben oder bezieht sich das auf die reine bzw temperierte Stimmung? Und wenn temperiert, dann welche Art? Werkmeister oder sonst wer?

Es handelt sich um die gleichstufig/gleichschwebend temperierte Stimmung, also die Stimmung, in der alle Halbtonschritte (idealerweise) gleich groß sind. In dieser Stimmung klingen alle Intervalle falsch! ausgenommen die Oktave. Der Fehler ist jedoch relativ gering. In anderen Stimmungen stimmen manche Intervalle besser, dafür gibt es dann richtig große Fehler bei anderen Intervallen. Aber solange das Klavier nur 12 Tasten pro Oktave hat, gibt es keine Möglichkeit für eine sauberere Stimmung als die gängige temperierte Stimmung.

(Die Zahlen beziehen sich auf einen Kammerton von 440 Hz. Bei einem anderen Kammerton ändern sich die Werte natürlich.)
 
Viola
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Klar ändern sich die Werte, aber logorhythmisch oder?
 

Fips7
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Wobei ich gestehen muss, dass es mir auf einem Digitalen Piano ebenfalls schwer fällt komplexere Stücke zu spielen, wenn man den Tune verändert, zB einen Ton tiefer. Ich bin dann geneigt, je nach Tageszeit im übrigen, leichte Stücke einfach wieder zurück zu transponieren, auch wenn das fatale Auswirkungen auf Fingersätze hat, aber dann nehme ich einfach andere. Manchmal merke ich das gar nicht. Das ist dann schon merkwürdig: ich lese ein Stück in F-Dur, was dank digitaler Transposition in Fis-Dur erklingt und meine Finger korrigieren auf E-Dur damit meine Ohren wieder F-Dur hören, so wie es in den Noten steht. Geht, aber nur begrenzt.
Mir geht es beim Runter- oder Hochdrehen der Stimmung am Digitalpiano so, dass die Stücke in ihrer Harmonik plötzlich eine völlig andere Wirkung auf mich haben. Ich höre das Stück dann völlig neu. Ich weiß nicht, ob das etwas mit Gewöhnungseffekten zu tun hat und ich das Stück auch in der veränderten Tonart nach einer Weile wieder als "normal" empfinden würde. Aber ich staune jedesmal, wie sich die Wirkung verändert.

Warum werden die Instrumente so gebaut und nicht anders? Hat das etwas mit UNSEREN Schwingungen zu tun?

Ich habe mal 3 Seiten Papier für 10 Euros gekauft: einen Artikel vom Fraunhofer Institut, der sich mit den Maßen eines Ziegelsteines befasste im Rahmen der Architekturgeschichte. Ich finde den Artikel gerade nicht. Wie kommt es zu diesen merkwürdigen Maßen eines Ziegelsteines:
Es ist eine Zahl, die "oktaviert" (ich glaube nach unten oktaviert) zunächst das Lichtspektrum ROT trifft. Noch weiter nach unten oktaviert trifft man auf den Ton "G". Das bedeutet, dass sich die Architektur DIREKT auf musikalische Grundregeln beruft und man durchaus bei Gebäuden davon sprechen kann, dass sie steingewordene Musik sind, eine direkte Entsprechung rhythmischer Strukturen und kompositorischer Formen!
Das ist interessant. Wir hatten hier ja kürzlich auch schon mal die Frage, wieviel die Stimmung der Instrumente und die daraus entstehende Wirkung der Musik mit uns als Menschen etwas zu tun hat, also mit unserer eigenen "Schwingung". Es ist die Frage, ob es nur eine Frage des persönlichen Geschmacks ist, ob man ein Klavier auf 445 Hz, auf 440 Hz oder auf 428 Hz stimmt, oder ob dahinter auch "Beschaffenheiten" im Menschen stehen, zu denen bestimmte Frequenzen besser passen als andere. Mein Gedanke war, dass der Stress der heutigen Lebensweise und dieses Immer-höher-weiter-schneller sich unter anderem auch in dem Drang niederschlägt, die Instrumente immer höher zu stimmen.

Grüße von
Fips
 
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Klar ändern sich die Werte, aber logorhythmisch oder?

Um einen bestimmten Faktor, ja. Logarithmus braucht man da eigentlich nicht.
Wenn du z.B. alle Werte mit 0,99 multiplizierst, erhältst du die Werte für eine Stimmung mit Kammerton 435,6 Hz, die Frequenzen sind dann gleichmäßig um 1 Prozent niedriger als die übliche 440 Hz Stimmung.

Man darf jedenfalls nicht einfach sagen wir 5 Hz bei allen Frequenzen abziehen, sonst würde man völlig falsche Werte bekommen.
 
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....

Das ist interessant. Wir hatten hier ja kürzlich auch schon mal die Frage, wieviel die Stimmung der Instrumente und die daraus entstehende Wirkung der Musik mit uns als Menschen etwas zu tun hat, also mit unserer eigenen "Schwingung". Es ist die Frage, ob es nur eine Frage des persönlichen Geschmacks ist, ob man ein Klavier auf 445 Hz, auf 440 Hz oder auf 428 Hz stimmt, oder ob dahinter auch "Beschaffenheiten" im Menschen stehen, zu denen bestimmte Frequenzen besser passen als andere. Mein Gedanke war, dass der Stress der heutigen Lebensweise und dieses Immer-höher-weiter-schneller sich unter anderem auch in dem Drang niederschlägt, die Instrumente immer höher zu stimmen.

Grüße von
Fips


Wo wurde das bitte diskutiert? Hmmm... habe einige Anwesenheitslöcher, schade.

Danke dür die Multiplikationsmethode, Hadnspaß!!
 
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Roman aus Wien
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Getretener Quark wird breit - nicht stark.

Ich bin immer wieder fasziniert davon, wie an und für sich banale Zusammenhänge kompliziert dargestellt oder gar mystifiziert werden können:

Ich habe mal 3 Seiten Papier für 10 Euros gekauft: einen Artikel vom Fraunhofer Institut, der sich mit den Maßen eines Ziegelsteines befasste im Rahmen der Architekturgeschichte. Ich finde den Artikel gerade nicht. Wie kommt es zu diesen merkwürdigen Maßen eines Ziegelsteines:
Es ist eine Zahl, die "oktaviert" (ich glaube nach unten oktaviert) zunächst das Lichtspektrum ROT trifft. Noch weiter nach unten oktaviert trifft man auf den Ton "G". Das bedeutet, dass sich die Architektur DIREKT auf musikalische Grundregeln beruft und man durchaus bei Gebäuden davon sprechen kann, dass sie steingewordene Musik sind, eine direkte Entsprechung rhythmischer Strukturen und kompositorischer Formen!

Fand ich irgendwie einleuchtend...

Mauerziegel nach ÖNORM B 3201 haben Abmessungen von 25 * 12 * 6,5 cm.
Der Zusammenhang zwischen den "merkwürdigen Maßen" ist ganz einfach: Länge = 2 * Breite + Mörtelfuge.
Damit kann beim Blockverband, wo sich Läufer- und Binderscharen abwechseln, die Verbandregel "Voll auf Fug" eingehalten werden.

Da eine Oktave in der Musik eine Verdoppelung (oder Halbierung) der Tonfrequenz bedeutet, kann man nun auf die Idee kommen, Verhältnisse von 1:2 zu Oktaven zu verklären. Es ist halt nur völlig sinnfrei, weil es bei Ziegeln nichts Achtstufiges gibt.

Weder ist Architektur steingewordene Musik, noch ist Musik klanggewordene Architektur.
Beide wenden bloß Mathematik an.


Wer mehr über Ziegel und deren Formate - jenseits von "Oktavierungen" und dem "Ton G" erfahren will, wird im Weltnetz z.B. unter http://de.wikipedia.org/wiki/Backstein fündig.

Roman aus Wien
 
klaviermacher
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Also ich finde den Faden interessant - besonders wieso etwas auf bestimmte Art und Weise festgelegt wird!

Eine Analogie wohin solch eine Hinterfragung führen kann ist folgendes Beispiel:
Warum sind die Brennstofftanks für Space Shuttels nicht größer als sie jetzt sind? Man wollte sie ja größer bauen, aber warum zum Teufel sind sie es dann nicht.

Die Brennstofftanks werden in Utha gebaut und müssen mit der Bahn nach Florida gebracht werden. Die Tunnelbreite der Eisenbahn wurde nach der Größe bzw. dem Abstand der Schienen errichtet und gibt somit ein Maximum der Gütergröße vor. Die amerikanischen Einwanderer bauten die Eisenbahn aus Einfachheit mit dem gleichen Schienenabstand wie die Europäer. Aber warum bauten die Europäer genau diesen Schienenabstand, nämlich genau vier Fuß und achteinhalb Zoll?

Die ersten Eisenbahnen wurden auf den gleichen Werkbänken jener Schmieden gebaut, welche davor normale Postkutschen machten, und diese hatten eben diesen Abstand um die Räder zu fertigen. Also lies man es dabei. Aber warum hatten sie diesen Abstand? Nachdem jahrhundertelang tiefe Furchen in die Hauptverkehrswege gepflügt wurden, welche die europäischen die Länder verbanden, war es nicht möglich von diesem Abstand abzuweichen. Auf diesen wichtigen Routen hätten Kutschen mit anderem Radabstand nicht fahren können. Und wer hat diesen Abstand bestimmt? Das wiederum geht auf die Römer zurück. Sie bauten Streitwägen, welche von zwei Pferden gezogen wurden, die nebeneinander laufend diesen optimalen Abstand der Räder für die Effektivität und Stabilität des Wagens notwendig machten.

Tja, und genau deshalb sind die Brennstofftanks der Trägerraketen des Space Shuttels eigentlich zu klein ...wegen zwei Pferden:D

...und wie war das nun mit den 440 Hertz?

LG
Michael
 
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Hallo Michael,

ein sehr schönes Beispiel. :D Ich hatte fast auf einen Aprilscherz getippt, Aber um 00:05 war es dafür ja etwas zu spät. Mit der Geschichte werde ich sicherlich noch den ein und anderen Schüler erfreuen können. :p

Liebe Grüße
Wolfgang
 
Fips7
Fips7
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Also ich finde den Faden interessant - besonders wieso etwas auf bestimmte Art und Weise festgelegt wird!

Eine Analogie wohin solch eine Hinterfragung führen kann ist folgendes Beispiel:
Warum sind die Brennstofftanks für Space Shuttels nicht größer als sie jetzt sind? Man wollte sie ja größer bauen, aber warum zum Teufel sind sie es dann nicht.

Die Brennstofftanks werden in Utha gebaut und müssen mit der Bahn nach Florida gebracht werden. Die Tunnelbreite der Eisenbahn wurde nach der Größe bzw. dem Abstand der Schienen errichtet und gibt somit ein Maximum der Gütergröße vor. Die amerikanischen Einwanderer bauten die Eisenbahn aus Einfachheit mit dem gleichen Schienenabstand wie die Europäer. Aber warum bauten die Europäer genau diesen Schienenabstand, nämlich genau vier Fuß und achteinhalb Zoll?

Die ersten Eisenbahnen wurden auf den gleichen Werkbänken jener Schmieden gebaut, welche davor normale Postkutschen machten, und diese hatten eben diesen Abstand um die Räder zu fertigen. Also lies man es dabei. Aber warum hatten sie diesen Abstand? Nachdem jahrhundertelang tiefe Furchen in die Hauptverkehrswege gepflügt wurden, welche die europäischen die Länder verbanden, war es nicht möglich von diesem Abstand abzuweichen. Auf diesen wichtigen Routen hätten Kutschen mit anderem Radabstand nicht fahren können. Und wer hat diesen Abstand bestimmt? Das wiederum geht auf die Römer zurück. Sie bauten Streitwägen, welche von zwei Pferden gezogen wurden, die nebeneinander laufend diesen optimalen Abstand der Räder für die Effektivität und Stabilität des Wagens notwendig machten.

Tja, und genau deshalb sind die Brennstofftanks der Trägerraketen des Space Shuttels eigentlich zu klein ...wegen zwei Pferden:D

...und wie war das nun mit den 440 Hertz?

LG
Michael
Klingt nach Chaostheorie. Der Hufschlag zweier Pferde in früheren Jahrhunderten beeinflusst die Baugröße des Spaceshuttle-Tanks (und wahrscheinlich auch das Wetter in Cape Canaveral)... :D

Grüße von
Fips
 
Viola
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Klingt nach Chaostheorie. Der Hufschlag zweier Pferde in früheren Jahrhunderten beeinflusst die Baugröße des Spaceshuttle-Tanks (und wahrscheinlich auch das Wetter in Cape Canaveral)... :D

Grüße von
Fips


Nö, klingt logisch. Nur ist dieses Beispiel eher praktisch. Bei den Schwingungen und Festlegung derselben geht es aber um UNSERE Wahrnehmung, unser ästhetisches Empfinden. Ob das genau so "geprägt" durch Lernerfahrung ist wie zwei Pferdepopos, sie Jahrhunderte später die Weltraumfahrt prägt?
Ich gehe davon aus!
Obwohl... wer weiß - - -

Die Umstellunf der reinen Stimmung auf die temperierte Stimmung war ja auch schwer gewöhnungsbedürftig seinerzeit. Höre ich heute Popsongs aus den 70gern, tun mir manchmal die Ohren weh, wie "falsch" der Gesang mancher damaligen Lieblingssongs klingt, da heute alles auf "lupenrein" (?) - oder einfach auf den aktuellen Modetune getrimmt ist. Melodyn korrigiert noch die besten Sängerinnen und Sänger um die ein oder andere Schwebung. Doch wer füttert die Maschinen mit den Parametern unseres Ästhetischen Empfindens? Oder wird das ästhetische Empfinden umerzogen?

Wieso haben andere Völker Vierteltöne?
Einer fragte das auch schon im Anderen Thread: Wie gehen Leute mit "absolutem Gehör" mit diesen "Unreinheiten" und ggf Vierteltönen indischer Musik um? Laufen die weg? Gibt es in China keine Personen mit absolutem Gehör? WAS ist ein absolutes Gehör?

Fragen über Fragen - habe gerade den Klavierstimmungsthread durchgeackert. Alles sehr sehr interessant! Erst einmal einen lieben Dank an die hier versammelte Gesamtintelligenz!

;)

Alles Liebe

Viola
 
 

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