Moin,
so schwer ist das doch alles nicht. Ich gehe im Folgenden zunächst von einem Instrument mit unendlich dünnen Saiten aus, also ohne Inharmonizitäten bei der Obertonreihe.
Wenn man einen Ton um eine Oktave erhöht, dann verdoppelt sich die Frequenz. Aus 100 Hz werden dann beispielsweise 200 Hz.
Wenn man einen Ton um eine Quinte erhöht, muss man (wenn es eine reine, schwebungsfreie Quinte ist), die Frequenz mit 3/2 multiplizieren.
Wichtig ist bei Tonhöhen: Man addiert nicht Frequenzen, man multipliziert (für mathematisch Begabte: Die Frequenz wächst exponentiell, nicht linear). Bei der oben genannten Oktave beträgt der Unterschied z.B. 100 hZ, wenn man dann aber zur nächsten Oktave geht (Verdopplung auf 400 Hz), dann beträgt der Unterschied schon 200 Hz zur vorherigen Oktave.
Wenn man jetzt auf seinen
flügel schaut, sieht man, dass 7 Oktaven gleich 12 Quinten sind (wie Mick oben schon sagte).
Für 7 Oktaven muss man die Frequenz 7 mal verdoppeln, man erhält einen Faktor von 2^7 = 128.
Für 12 Quinten hingegen muss man die Frequenz 12 mal mit 3/2 multiplizieren, man erhält (3/2)^12 = 531441/4096 , also ungefähr 129.746337890625 als Faktor.
Nähme man als Startton 10 Hz (nur, weil man damit leicht rechnen kann), so wäre der 7 Oktaven höhere Ton 1280 Hz, der 12 Quinten höhere Ton aber 1297,4634 Hz, also schon mehr als 17 Hz höher.
Es kann also keine Stimmung geben, bei der Quinten und Oktaven gleichzeitig rein sind.
Jetzt aber ein praktisches Beispiel: Viel größer sind die Unterschiede bei den großen Terzen. Ich spare mir ein Rechenbeispiel, weil man das praktisch nachvollziehen kann.
Man nehme einen frisch gestimmten Flügel oder ersatzweise ein Digi. Man spiele eine Quinte. Wenn nun der musikalisch talentierte Mensch die große Terz dazwischen singt und darauf achtet, dass diese möglichst schwebungsfrei erklingt, dann wird er, wenn er nachfolgend die große Terz auf dem Klavier spielt, feststellen, dass die gesungene Terz tiefer (hörbar!) ist als die gespielte.
Bei Instrumenten, deren Saiten nicht unendlich dünn sind (also theoretisch bei allen Instrumenten, letztlich aber vor allem bei Klavieren mit ihren dicken Basssaiten) treten dann noch ganz andere Probleme auf, die aber mit den hier beschriebenen mathematischen Problemen nichts zu tun haben.
)
Da wird irgendwas zu Partial-, bzw. Obertönen erklärt. Da steht dann: "Über dem Grundton C ergibt sich folgende theoretisch unendliche, auf alle anderen Tonstufen transportierbare Reihe." 
