aths
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Die sogenannte chromatische Tonleiter in zwölf gleichgestimmten Stufen sehe ich als brauchbares Raster, um diatonische Leitern mitsamt chromatischen Schritten gut anzunähern.
Dabei leidet zwar die Reinheit der Terzen, aber besonders übel erwischt es einen der Halbtöne. Der diatonische Halbtonschritt (C-Des, E-F und so weiter) wäre eigentlich 112 Cent groß. Das ergibt sich aus:
1200 * log2 (16/15)
16:15 ist das Intervall in reiner Stimmung.
In der gleichstufig gestimmten Tonleiter können wir nur in glatten 100-Cent-Schritten entlanggehen, so dass wir 12 Cent Abweichung haben. Das geht ja noch.
Der chromatische Halbton (25/24, Es-E, As-A) hat 71 Cent. Die Abweichung, das fehlende Stück zu 100 Cent, beträgt also fast 30 Cent! Dies ist auch klar als Verstimmung herauszuhören, doch die Vorteile der gleichstufigen Stimmung überwiegen.
Nun spielt der tonale Kontext keine Rolle, falls wir eine Tonleiter für atonale Musik entwickeln. Solche Musik klingt ja nicht per se disharmonisch. Wir brauchen schon harmonische Intervalle, also die üblichen Verdächtigen wie Oktave, Quinte, große Terz. Dessen jeweiliges Intervall beträgt in dieser Reihenfolge:
2:1, 3:2, 5:4. Der Nenner ist immer eine Zweierpotenz. Das nächste Auftreten einer Zweierpotenz wäre 8. Tatsächlich ist auch 9:8 ein bekanntes Intervall, der Ganzton.
Nun haben wir auch das jeweilige direkte Nachbar-Intervall noch: Zur Quinte 3:2 die Quarte 4:3, zur großen Terz 5:4 die kleine Terz 6:5 und zum großen Ganzton 9:8 den kleinen Ganzton 10:9. Die Unterschiede zwischen den Ganztönen sind gering genug, dass man mit einem einzigen Intervall auskommt, welcher zwischen großem und kleinen Ganzton temperiert wird.
Verfährt man nach diesem Prinzip weiter, wäre der logische große Halbtonschritt 17:16 und der kleine Halbtonschritt 18:17.
17:16 ergibt 105 Cent, 18:7 entspricht 99 Cent. Mit anderen Worten, das bekannte System aus zwölf gleichstufig gestimmten Schritten nähert diese Art von Halbtönen sehr gut an. Vergisst man also mal Dreiklänge oder diatonische Tonleitern und schaut einfach auf besonders stabile Intervalle (mit einer Zweierpotenz im Nenner) eignet sich die gleichstufige Leiter mit zwölf Stufen sehr gut.
Das könnte man als mathematischen Zufall zur Kenntnis nehmen. Oder als Begründung sehen, dass gängige atonale Musik sich weiterhin im Zwölfton-Kontext befindet und die Komponisten wenig Lust haben, eine neue Tonleiter zu erfinden.
Dabei leidet zwar die Reinheit der Terzen, aber besonders übel erwischt es einen der Halbtöne. Der diatonische Halbtonschritt (C-Des, E-F und so weiter) wäre eigentlich 112 Cent groß. Das ergibt sich aus:
1200 * log2 (16/15)
16:15 ist das Intervall in reiner Stimmung.
In der gleichstufig gestimmten Tonleiter können wir nur in glatten 100-Cent-Schritten entlanggehen, so dass wir 12 Cent Abweichung haben. Das geht ja noch.
Der chromatische Halbton (25/24, Es-E, As-A) hat 71 Cent. Die Abweichung, das fehlende Stück zu 100 Cent, beträgt also fast 30 Cent! Dies ist auch klar als Verstimmung herauszuhören, doch die Vorteile der gleichstufigen Stimmung überwiegen.
Nun spielt der tonale Kontext keine Rolle, falls wir eine Tonleiter für atonale Musik entwickeln. Solche Musik klingt ja nicht per se disharmonisch. Wir brauchen schon harmonische Intervalle, also die üblichen Verdächtigen wie Oktave, Quinte, große Terz. Dessen jeweiliges Intervall beträgt in dieser Reihenfolge:
2:1, 3:2, 5:4. Der Nenner ist immer eine Zweierpotenz. Das nächste Auftreten einer Zweierpotenz wäre 8. Tatsächlich ist auch 9:8 ein bekanntes Intervall, der Ganzton.
Nun haben wir auch das jeweilige direkte Nachbar-Intervall noch: Zur Quinte 3:2 die Quarte 4:3, zur großen Terz 5:4 die kleine Terz 6:5 und zum großen Ganzton 9:8 den kleinen Ganzton 10:9. Die Unterschiede zwischen den Ganztönen sind gering genug, dass man mit einem einzigen Intervall auskommt, welcher zwischen großem und kleinen Ganzton temperiert wird.
Verfährt man nach diesem Prinzip weiter, wäre der logische große Halbtonschritt 17:16 und der kleine Halbtonschritt 18:17.
17:16 ergibt 105 Cent, 18:7 entspricht 99 Cent. Mit anderen Worten, das bekannte System aus zwölf gleichstufig gestimmten Schritten nähert diese Art von Halbtönen sehr gut an. Vergisst man also mal Dreiklänge oder diatonische Tonleitern und schaut einfach auf besonders stabile Intervalle (mit einer Zweierpotenz im Nenner) eignet sich die gleichstufige Leiter mit zwölf Stufen sehr gut.
Das könnte man als mathematischen Zufall zur Kenntnis nehmen. Oder als Begründung sehen, dass gängige atonale Musik sich weiterhin im Zwölfton-Kontext befindet und die Komponisten wenig Lust haben, eine neue Tonleiter zu erfinden.
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